Тема 20. События и их вероятность

Всякое воплощение определенного комплекса критерий либо действий, при которых наблюдается соответственное явление, именуют опытом либо испытанием (к примеру, опытом являются стрельба по мишени, бросание монеты, бросание игральной кости, т. е. кубика с нанесенным на каждую грань числом очков – от 1-го до 6).

Вероятный итог, финал опыта именуется событием. К примеру Тема 20. События и их вероятность, при стрельбе по мишени событием будет попадание либо промах, при бросании монеты – герб либо цифра на ее стороне и т. д.

Для обозначения событий употребляются огромные буковкы латинского алфавита: A, B, C, D и т. д.

Событие именуется достоверным в данном опыте, если оно непременно произойдет в этом опыте. Достоверное событие обозначают Тема 20. События и их вероятность .

Событие именуется неосуществимым, если в данном опыте оно не может произойти. Неосуществимое событие обозначают

Событие именуется случайным по отношению к данному опыту, если при осуществлении этого опыта оно может наступить, а может и не наступить.

З а м е ч а н и е 1. Одно и то же Тема 20. События и их вероятность событие в неком опыте может быть достоверным, в другом – неосуществимым, в 3-ем – случайным.

Суммой событий A и B именуется третье событие A + B, которое наступает и тогда только тогда, когда наступает хотя бы одно из событий: A либо B.

Если пришествие действия обозначать знаком «+», а ненаступление – знаком «–», то полную Тема 20. События и их вероятность характеристику будет давать последующая таблица:

A B A + B
+ + +
+ +
+ +

Аналогично определяется сумма 3-х, 4 и т. д. событий. Вообщем, сумма хоть какого огромного количества событий есть событие, которое наступает в тех и только тех случаях, когда наступает хотя бы одно из событий данного огромного количества.

Произведением событий A и B Тема 20. События и их вероятность именуется третье событие AB, которое наступает и тогда только тогда, когда наступают оба действия: A и B.

Полную характеристику действия AB дает последующая таблица:

A B AB
+ + +
+
+

Аналогично определяется произведение хоть какого огромного количества событий.

Событием, противоположнымсобытию A, именуется событие которое наступает и тогда только тогда, когда не Тема 20. События и их вероятность наступает событие А.

Обратное событие можно найти последующей таблицей:

А
+
+

Действия A и B именуются равными, если всякий раз, когда наступает одно из их, наступает и другое.

Равенство событий A и B записывают A = B.

Для приятного истолкования соотношений меж собы­тиями комфортно использовать так именуемые диаграммы Эйлера–Венна Тема 20. События и их вероятность. Каждое событие в данном случае рассматривается как попадание случаем брошенной точки в некую область на плоскости, т. е. каждое событие задается некой фигурой на плоскости.

При таком истолковании, событие A + B будет не что другое, как попадание точки в объединение фигур A и B (рис. 1), событие AB – попадание в область, являющуюся Тема 20. События и их вероятность скрещением фигур A и B, а событие – попадание в область, дополнительную к фигуре A.

Рис. 1

Пусть А – случайное событие по отношению к некому опыту. Если произведено N опытов и при всем этом событие А пришло в NA случаях, то отношение именуется относительнойчастотой действия А в данной серии опытов.

Долгие Тема 20. События и их вероятность наблюдения демонстрируют, что если в схожих критериях выполняются опыты, в каждом из которых число испытаний довольно велико, то относительная частота обнаруживает свойство стойкости. Это свойство заключается в том, что в разных опытах относительная частота меняется не достаточно (тем меньше, чем больше произведено испытаний), колеблясь около некого Тема 20. События и их вероятность неизменного числа.

Вероятностью случайного действия А именуется число P(A), около которого колеблется относительная частота этого действия в длинноватых сериях опытов.

Приведенное выше определение нередко именуют «статистическим определением» вероятности.

Потому что частота удовлетворяет условиям то в тех же границах заключена и возможность хоть какого действия:

При всем этом, если событие А достоверное Тема 20. События и их вероятность (т. е. наступает при каждом осуществлении опыта), то NA = N и, означает, = 1; тем возможность достоверного действия равна единице.

В другом последнем случае, когда событие A нереально: NA = 0 и, означает, = 0. Означает, возможность неосуществимого действия равна нулю.

Действия А, В, С именуются несовместными, если два из их не могут произойти Тема 20. События и их вероятность в данном опыте вкупе.

Действия А, В, С именуются совместными, если в данных критериях возникновение 1-го из этих событий не исключает возникновение другого при всем этом же испытании.

Если сумма событий – достоверное событие, т. е. то молвят, что действия образуют полную группу событийдля данного опыта.

Если действия владеют Тема 20. События и их вероятность качествами:

1)

2) при

то молвят, что они образуют полную группу попарно несовместных событий.

Если – полная группа попарно несовместных событий, связанных с неким испытанием, то действия именуют простыми событиями.

Событие А именуется благоприятствующим событию В, если пришествие действия А тянет за собой пришествие действия В.

Исторически первым было традиционное определение вероятности.

Вероятностью Тема 20. События и их вероятность действия А именуется отношение числа простых событий, благоприятствующих событию А, к числу всех равновозможных простых событий опыта, в каком может показаться событие А.

В согласовании с традиционным определением вероятности

(1)

где m – число простых событий, благоприятствующих событию A;

n – число простых событий, образующих полную группу равновозможных и попарно несовместных Тема 20. События и их вероятность событий.

Традиционное определение вероятности подразумевает, что число всех простых событий естественно. Но на практике нередко встречаются опыты, для которых огромное количество таких событий нескончаемо.

Чтоб преодолеть недочет традиционного определения вероятности, состоящий в том, что оно неприменимо к испытаниям с нескончаемым числом исходов, вводят геометрические вероятности – вероятности попадания точки в область.

Пусть на Тема 20. События и их вероятность плоскости задана квадрируемая область G, т. е. область, имеющая площадь. Площадь этой области обозначим через SG. В области G содержится область g площади Sg (рис. 2).

Рис. 2

В область G наудачу брошена точка. Считают, что брошенная точка может попасть в некую часть области G с вероятностью, пропорциональной площади этой Тема 20. События и их вероятность части и не зависящей от ее формы и расположения. Если A – попадание брошенной точки в область g, то геометрическая возможность этого действия определяется формулой

Аналогично вводится понятие геометрической вероятности при бросании точки в пространственную область объема VG, содержащую область g объема Vg:

Пример1. При помощи таблиц, определяющих A + B, AB и Тема 20. События и их вероятность обосновать равенство

Решение. Составим таблицы, дающие все случаи пришествия и ненаступления левой и правой частей доказываемого равенства:

A B A B AB
+ + + + + +
+ + + +
+ + + +
+ + +

Последние столбцы этих таблиц схожи, это и значит справедливость равенства

Пример 2. Британский математик Карл Пирсон (1857–1936) кидал монету 24 000 раз, при этом герб выпал 12 012 раз. Отыскать относительную Тема 20. События и их вероятность частоту выпадения герба в данной серии опытов.

Решение. Относительная частота выпадения герба в данной серии опытов равна:

Пример 3.Отыскать возможность возникновения верхней грани с числом очков, делящимся на 3, при бросании игральной кости.

Решение. Благоприятствующими данному событию A будут простые действия A3 и A6 (выпадение 3 и 6), а всего простых исходов будет Тема 20. События и их вероятность 6. Потому

Пример 4. В круг радиуса R наудачу брошена точка. Отыскать возможность того, что эта точка окажется снутри правильного треугольника, вписанного в данный круг (рис. 3).

Рис. 3 Решение. Разыскиваемая возможность равна отношению площади треугольника к площади круга:

Пример 5. На 5 схожих по форме и размеру карточках написаны буковкы слова Минск – по одной на каждой Тема 20. События и их вероятность карточке. Карточки кропотливо перемешаны. Их вынимают наудачу и раскладывают одна за другой на столе. Найти, какова возможность того, что опять получится слово Минск.

Решение. Из 5 разных частей можно составить P5 перестановок: Означает, всего равновозможных элемен­тарных событий будет 120, а благоприятствующих данному событию – только одно. Как следует,

Пример 6.В играх на Тема 20. События и их вероятность первенство страны по баскетболу участвуют 16 команд, которые будут распределены по жребию на две группы по 8 команд. Какова возможность того, что две команды-победи­тельницы в промежных состязаниях войдут в одну группу?

Решение. Число всех методов рассредотачивания 16 команд на две группы по 8 команд равно Пусть обе команды-победительницы Тема 20. События и их вероятность вошли в одну группу. К ним следует присоединить еще 6 всех команд из оставшихся 14. Это можно сделать методами.

Отобранные 8 команд можно объявить группой 1, оставшиеся – группой 2, и напротив. Как следует, требованию задачки удовлетворяют композиций. Разыскиваемая возможность равна:

КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ:

1. Как определяется событие?

2. Что такое достоверное событие?

3. Что такое случайное событие?

4. Что именуется неосуществимым Тема 20. События и их вероятность событием?

5. Какие деяния можно проводить над событиями?

6. Дайте статистическое определение вероятности.

7. Как возможность определяется геометрически?

8. Дайте традиционное определение вероятности.

Домашнее задание:[4], §1.4-1.8, №7-12


tema-22-osoboe-proizvodstvo.html
tema-22-personalnie-dannie-rabotnika-2-chasa-uchebno-metodicheskij-kompleks-po-discipline-trudovoe-pravo-dlya.html
tema-22-prestupleniya-protiv-sobstvennosti-metodicheskie-materiali-dlya-slushatelej-fakulteta-zaochnogo-obucheniya.html